Fonction arcsinus

1. Donner le tableau de variations de la fonction sinus sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\) .

2. Soit \(y\)  un réel appartenant à \([-1~;~ 1]\) . Montrer qu'il existe un unique réel \(x\)  appartenant à  \(\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\) et tel que \(\sin(x)=y\) .

On définit ainsi, sur \([-1 \ ;\ 1]\) , une nouvelle fonction appelée arcsinus  et notée \(\arcsin\) .

Pour tout réel \(x\)  de \(\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\)  et tout réel \(y\)  de \([-1~ ;~ 1]\) , on a donc \(\sin(x)=y \Leftrightarrow x=\arcsin(y)\) .

3. a. Montrer que, pour tout réel \(x\)  de \([-1~;~1]\) , on a \(\cos\left(\arcsin(x)\right)=\sqrt{1-x^2}\) .
    b. On admet que la fonction arcsinus est dérivable sur \(]-1~;~1[\) . Montrer que, pour tout réel \(x\)  de l'intervalle \(]-1~;~ 1[\) , on a \(\arcsin^{\prime}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) .
    c. En déduire les variations de la fonction arcsinus sur l'intervalle  \([-1~ ;~ 1]\) .